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Voici le sujet de mathématiques proposés aux candidats du Bac STL 2016. A télécharger gratuitement !
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Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. On arrondira les résultats à 10 -3.Â
Une laiterie produit des fromages, frais ou secs.
1. Pour être accepté, un fromage frais doit avoir une masse supérieure à 240 grammes. On appelle M la variable aléatoire qui à tout fromage frais, prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On suppose que M suit la loi normale d’espérance u = 250 et d’écart type o=5Â
Quelle est la probabilité qu’un fromage frais prélevé au hasard dans la production soit refusé ?
2. On suppose que 2 % des fromages frais produits ont une masse insuffisante. On prélève un échantillon de 150 fromages frais, pris au hasard dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On appelle X la variable aléatoire qui, à un échantillon de 150 fromages frais, pris au hasard dans la production, associe le nombre de fromages de masse insuffisante dans l’échantillon.
a) Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres.
b) Quelle est la probabilité qu’il y ait dans le prélèvement au maximum cinq fromages de masse insuffisante ?
c) Déterminer l’espérance de X et l’interpréter dans le contexte de l’exercice.
3. La laiterie estime que 18 % de ses consommateurs de fromages préfèrent les fromages secs.
a) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence f des consommateurs de la laiterie préférant les fromages secs dans un échantillon de 400 personnes.
b) La laiterie interroge au hasard un échantillon de 400 consommateurs sur leur préférence ; 55 d’entre eux déclarent préférer les fromages secs. La laiterie doit-elle alors considérer que la préférence de sa clientèle concernant les fromages secs a changé ? Pourquoi ?
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Une petite entreprise familiale veut stériliser une partie de sa production maraîchère sous forme de conserves, à l’aide d’un autoclave.
1. Soit f la fonction qui à tout temps t, exprimé en minutes, associe la température, exprimée en degrés Celsius, au cœur de la conserve placée dans l’autoclave. On admet que la fonction f ainsi définie est solution de l’équation différentielle (E) : y' + 0.162y=20.3 3 sur [0,60].
a) Résoudre l’équation différentielle (E).
b) Au moment de la mise en route de l’autoclave (c’est-à -dire au temps t = 0), la température au cœur de la conserve est égale à 21° (température dans l’atelier de stérilisation). Déterminer une expression de f(t) pour tout réel t>0 .
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À partir du 1er janvier 2014, Alice a décidé de travailler son endurance à la course à pied. Pour cela, elle va s’entraîner régulièrement. Tous les mois, elle note ses performances afin d’évaluer ses progrès.
1. Alice suit d’abord l’évolution des distances parcourues. Au mois de janvier 2014, la distance qu’elle est capable de courir en une fois est égale à 10 km et cette distance courue en une fois augmente tous les mois de 6 %. Pour tout entier naturel n, on appelle n d la distance, en kilomètres, qu’Alice est capable de courir en une fois le n-ième mois après le mois de janvier 2014. Ainsi, on considère que d0=10 .
a) Justifier que d1=10.6.
b) Quelle est la nature de la suite (dn) ? Exprimer, pour tout entier naturel n, dn en fonction de n. c) Déterminer la distance qu’est capable de courir Alice en une fois au mois de septembre 2014. On donnera la valeur arrondie à 0,1 km.
d) Au bout de combien de mois Alice sera-t-elle capable de courir en une fois 25 km ? Justifier.
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